Karmaşık Sayılar
📚 Konu Özeti
Karmaşık Sayı Nedir?
Reel sayılar kümesinin, karesi -1 olan $i$ sayısı (sanal birim) ile genişletilmesiyle oluşan kümedir. Karmaşık sayılar $z = a + ib$ formunda yazılır ($a$: reel kısım, $b$: sanal kısım).
$$ i^2 = -1, \quad i^3 = -i, \quad i^4 = 1 $$
⚡ Temel İşlemler
- Toplama: $(a+ib) + (c+id) = (a+c) + i(b+d)$
- Çarpma: $(a+ib)(c+id) = (ac-bd) + i(ad+bc)$
- Eşlenik: $\bar{z} = a - ib$
- Modül: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$
🔄 Polar Form ve Euler Formülü
Karmaşık sayılar kutupsal (polar) formda da gösterilebilir:
$$ z = r(\cos \theta + i\sin \theta) = re^{i\theta} $$
Euler'in Formülü: $e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta$
Özel durum: $e^{i\pi} + 1 = 0$ (Euler'in özdeşliği)
🎯 Önemli Özellikler
- $z \cdot \bar{z} = |z|^2 = a^2 + b^2$
- $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$
- De Moivre Teoremi: $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$ i\\sin(n\\theta)$
⚠️ Yaygın Hatalar
- $i^2 = -1$ unutma! Çarpmalarda dikkatli ol
- Bölme işleminde payda eşleniği ile genişlet
- Modül her zaman pozitif: $|z| \\geq 0$
Soru 1 (Kolay): $z_1 = 3 + 4i$ ve $z_2 = 2 - i$ ise $z_1 + z_2$ nedir?
Soru 2 (Kolay): $i^2$ kaçtır?
Soru 3 (Kolay): $(2+3i) + (1-i)$ işleminin sonucu nedir?