Seriler
📚 Konu Özeti
Seri Nedir?
Bir dizinin terimlerinin sonsuz toplamına seri denir. Sonsuz terimli bir toplamın sonlu bir sayıya yaklaşmasına yakınsaklık (konverjans) denir. $$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots $$
⚡ Temel Seri Türleri
Geometrik Seri:
$\sum r^n$, $|r|<1$ için yakınsak
Toplam: $\frac{a}{1-r}$
Harmonik Seri:
$\sum \frac{1}{n}$ (ıraksak)
Taylor Serisi:
Fonksiyonu sonsuz polinom olarak yazma
🎯 Yakınsaklık Testleri
- Oran Testi: $\lim |\frac{a_{n+1}}{a_n}| < 1$
- n. Terim Testi: $\lim a_n = 0$ olmalı (gerekli şart)
- İntegral Testi: Pozitif azalan diziler için
📐 Önemli Taylor Serileri
- $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$
- $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$
- $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$
⚠️ Yaygın Hatalar
- $\sum a_n$ yakınsak ⇏ $a_n → 0$ (yeter değil, gerekli koşul)
- Harmonik seri ıraksak ama alternatif harmonik yakınsak!
- Geometrik seri: $|r| \geq 1$ ise ıraksak
Soru 1 (Kolay): $\sum_{k=1}^{3} (2k+1)$ toplamının değeri kaçtır?
Soru 2 (Kolay): Geometrik seri $\sum r^n$ ne zaman yakınsaktır?
Soru 3 (Kolay): $\sum_{k=0}^3 2^k$ toplamı kaçtır?