Türev
📚 Konu Özeti
Türev Nedir?
Türev, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki anlık değişim oranını ifade eder. Geometrik olarak, bir eğrinin herhangi bir noktasındaki teğetin eğimi o noktadaki türev değerine eşittir.
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$
"x noktasındaki f fonksiyonunun türevi" veya "f prime x" şeklinde okunur.
📜 Kısa Tarihçe
Türev kavramı, 17. yüzyılın sonlarında Isaac Newton ("fluxion" adıyla) ve Gottfried Leibniz (diferansiyel gösterimi ile) tarafından bağımsız olarak geliştirilmiştir. Newton türevi hız ve hareket problemlerinde kullanırken, Leibniz geometrik yaklaşımla eğrilerin teğetlerini incelemiştir. Modern diferansiyel kalkülüsün temelini atan bu çalışmalar, fizik, mühendislik ve ekonomiden biyolojiye kadar geniş bir uygulama alanı bulmuştur.
⚡ Temel Türev Kuralları
Üs Kuralı:
$(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$
Sabit Çarpan:
$(c \cdot f)' = c \cdot f'$
Toplam Kuralı:
$(f + g)' = f' + g'$
Çarpım Kuralı:
$(f \cdot g)' = f'g + fg'$
Bölüm Kuralı:
$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$
Zincir Kuralı:
$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
📐 Özel Fonksiyonların Türevleri:
- $(\sin x)' = \cos x$ | $(\cos x)' = -\sin x$
- $(\tan x)' = \sec^2 x$ | $(\cot x)' = -\csc^2 x$
- $(e^x)' = e^x$ | $(a^x)' = a^x \ln a$
- $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ | $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$
📊 Geometrik Yorum
Türev, bir eğrinin herhangi bir noktasındaki teğet doğrusunun eğimini verir:
- f'(x) > 0: Fonksiyon artan (eğri yükseliyor)
- f'(x) < 0: Fonksiyon azalan (eğri iniyor)
- f'(x) = 0: Kritik nokta (maksimum, minimum veya dönüş noktası)
- Teğet Denklemi: $y - f(a) = f'(a)(x - a)$
💡 İpucu: Türev sıfır olan noktalar, fonksiyonun en yüksek veya en alçak değerlerini bulmanız için anahtardır!
🔬 Pratik Uygulamalar
- Fizik: Hız (konum türevi), ivme (hız türevi)
- Optimizasyon: Maliyet minimizasyonu, kar maksimizasyonu
- Ekonomi: Marjinal maliyet, marjinal gelir analizi
- Mühendislik: Yapısal analiz, elektrik devreleri
- Biyoloji: Popülasyon artış hızı, kimyasal reaksiyon oranları
🚀 Fiziksel Yorum
Türev, fiziksel dünyada anlık değişim hızını temsil eder:
- Hız: Konumun zamana göre türevi → $v(t) = \frac{dx}{dt}$
- İvme: Hızın zamana göre türevi → $a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}$
- Akış Hızı: Sıvı akışı, elektrik akımı
- Değişim Oranı: Sıcaklık değişimi, nüfus artışı
Örnek: Bir araba $x(t) = 5t^2$ metre yol alıyorsa, $t=3$ saniyedeki hızı: $v(3) = x'(3) = 10 \cdot 3 = 30$ m/s
🎓 İleri Düzey Kavramlar
∂ Kısmi Türev (Partial Derivative)
Çok değişkenli fonksiyonlarda bir değişkene göre türev alırken diğerlerini sabit tutar:
$f(x,y) = x^2 + 3xy + y^3$ için:
$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 3y$ (y'yi sabit tut)
$\frac{\partial f}{\partial y} = 3x + 3y^2$ (x'i sabit tut)
Uygulama: Termodinamik (sıcaklık, basınç), makine öğrenmesi (gradyan inişi)
Yüksek Mertebe Türevler
$f''(x)$ (ikinci türev), $f'''(x)$ (üçüncü türev) → $f^{(n)}(x)$ (n. türev)
🎓 İleri Düzey Kavramlar
Kapalı Türev:
$x^2 + y^2 = r^2$ gibi kapalı fonksiyonların türevi
Yüksek Mertebe:
$f''(x)$, $f'''(x)$: İkinci, üçüncü türevler
L'Hospital Kuralı:
$\frac{0}{0}$ belirsizliğinde limit hesabı
⚠️ Yaygın Hatalar ve İpuçları
- Üs kuralında eksponentı unutma: $(x^3)' = 3x^2$ (✓) değil $x^2$ (✗)
- Çarpım kuralını unutma: $(x \cdot e^x)' \neq x' \cdot (e^x)'$ (✗), doğrusu: $e^x + xe^x$ (✓)
- Zincir kuralını atlama: $(\sin(2x))' = 2\cos(2x)$ (✓), sadece $\cos(2x)$ değil (✗)
- Türev ile limit karıştırmama: Türev limite dayanır ama direkt limit değildir
- Sabitlerin türevi sıfırdır: $(c)' = 0$
Soru 1 (Kolay): $f(x) = x^3 - 4x + 7$ fonksiyonunun türevi nedir?
Soru 2 (Kolay): $f(x) = x^3 - 2x + 1$ ise $f'(2)$ kaçtır?
Soru 3 (Kolay): $y = \sin(x)$ fonksiyonunun türevi nedir?
🚀 Daha Fazlasını Öğrenmek İster Misin?
Çok değişkenli fonksiyonlar, kısmi türevler, gradient vektörleri, Jacobian matrisi ve Lagrange çarpanları için:
Türev 2: İleri Düzey Kalkülüs →