Trigonometri
📚 Konu Özeti
Trigonometri Nedir?
Trigonometri, üçgenlerin açıları ve kenarları arasındaki ilişkileri inceleyen matematik dalıdır. Birim çember üzerinde tanımlanan trigonometrik fonksiyonlar (sin, cos, tan) periyodik özellik gösterir ve dalga hareketleri, titreşimler gibi doğal olayları modellemede kullanılır.
Temel Özdeşlik: $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
⭕ Birim Çember
Yarıçapı 1 olan çember üzerinde herhangi bir nokta $(x, y)$ için:
- $\cos \theta = x$ (yatay koordinat)
- $\sin \theta = y$ (dikey koordinat)
- $\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
📐 Dik Üçgende Oranlar
- $\sin \theta = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Hipotenüs}}$
- $\cos \theta = \frac{\text{Komşu Kenar}}{\text{Hipotenüs}}$
- $\tan \theta = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Komşu Kenar}}$
- $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$ | $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ | $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$
🎯 Özel Açı Değerleri
| Açı | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| cos | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
⚡ Trigonometrik Özdeşlikler
📐 Temel Özdeşlikler:
Pisagor:
$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
$1 + \tan^2 x = \sec^2 x$
Periyot:
$\sin(x+2\pi) = \sin x$
$\cos(x+2\pi) = \cos x$
➕➖ Toplam ve Fark Formülleri:
- Sinüs: $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$
- Kosinüs: $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$
- Tanjant: $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$
✖️2 Çift Açı Formülleri:
- $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$
- $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x$
- $\tan(2x) = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}$
➗2 Yarım Açı Formülleri:
- $\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}$
- $\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$
- $\tan \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$
🔄 Ters Trigonometrik Fonksiyonlar
Ters trigonometrik fonksiyonlar, trigonometrik fonksiyonların terslerini ifade eder (arcsin, arccos, arctan).
- arcsin (sin⁻¹): $y = \arcsin x \iff \sin y = x$ (Tanım: $[-1,1]$, Değer: $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$)
- arccos (cos⁻¹): $y = \arccos x \iff \cos y = x$ (Tanım: $[-1,1]$, Değer: $[0, \pi]$)
- arctan (tan⁻¹): $y = \arctan x \iff \tan y = x$ (Tanım: $\mathbb{R}$, Değer: $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$)
💡 İpucu: $\sin(\arcsin x) = x$ ama $\arcsin(\sin x) = x$ sadece $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ için!
🔬 Pratik Uygulamalar
- Fizik: Dalga hareketi, harmonik titreşim, sarkaç
- Mühendislik: Sinyal işleme, AC devreler, yapı analizi
- Navigasyon: GPS, harita koordinatları, yön bulma
- Astronomi: Gezegen hareketleri, yıldız konumları
- Ses ve Müzik: Frekans analizi, ses dalgaları
⚠️ Yaygın Hatalar ve İpuçları
- Derece ve radyan karıştırmama: $180° = \pi$ radyan
- Toplam formülünde işaret hatası: $\sin(A+B) \neq \sin A + \sin B$ (✗)
- Periyodikleri unutmama: $\sin x$ her $2\pi$'de tekrar eder
- Birim çemberde işaretlere dikkat: Her bölgede sin/cos işaretleri farklı
- $\tan 90°$ tanımsızdır (sıfıra bölme)
Soru 1 (Kolay): Bir dik üçgende hipotenüs 10, bir dik kenar 6 ise diğer dik kenarın karşısındaki açının sinüsü kaçtır?
Soru 2 (Kolay): $\cos(60^\circ)$ değeri kaçtır?
Soru 3 (Kolay): $\sin^2(17^\circ) + \cos^2(17^\circ)$ işleminin sonucu nedir?