Türev 2: İleri Düzey Kalkülüs

Tanım:

$$ \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h} $$ $$ \frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x, y+h) - f(x, y)}{h} $$

$$ \frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + 3y^2 \quad \text{(y sabit)} $$ $$ \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 6xy \quad \text{(x sabit)} $$

$$ f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} $$ $$ f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}, \quad f_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} $$

💡 Schwarz Teoremi: Sürekli ikinci türevler için $f_{xy} = f_{yx}$

Gradient Vektörü:

$$ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) $$

İki boyutta: $\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \mathbf{j}$

$$ D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u} = |\nabla f| \cos\theta $$

$\theta$: Gradient ile $\mathbf{u}$ arasındaki açı

⚡ Önemli: • Gradient yönünde türev maksimum: $|\nabla f|$
• Gradient'e dik yönde türev sıfır (seviye eğrisi)

Gradient ve Seviye Eğrileri

$$ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dt} $$

$$ \frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial s} $$ $$ \frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t} $$

$$ \frac{dz}{dt} = 2x(-\sin t) + 2y(\cos t) = -2\cos t \sin t + 2\sin t \cos t = 0 $$

Tanım:

$\mathbf{F}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ fonksiyonu için Jacobian matrisi:

$$ J = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix} $$

$$ J = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{bmatrix} $$ $$ |J| = r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r $$

🎯 Kullanım: Çift integrallerde değişken dönüşümü: $dA = |J| \, dr \, d\theta$

İkinci Derece Taylor Açılımı:

$$ f(x, y) \approx f(a, b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b) $$ $$ + \frac{1}{2}\left[ f_{xx}(a,b)(x-a)^2 + 2f_{xy}(a,b)(x-a)(y-b) + f_{yy}(a,b)(y-b)^2 \right] $$

$$ H = \begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{bmatrix} $$

Determinant: $D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2$

Kritik nokta $(a, b)$'de:

• $D > 0$ ve $f_{xx} > 0$ → Yerel minimum
• $D > 0$ ve $f_{xx} < 0$ → Yerel maksimum
• $D < 0$ → Eyer noktası (saddle point)
• $D = 0$ → Test sonuçsuz

Problem:

$f(x, y)$ fonksiyonunu $g(x, y) = c$ kısıtı altında optimize et.

Çözüm: Lagrange fonksiyonu kur:

$$ \mathcal{L}(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda(g(x, y) - c) $$

Denklem sistemini çöz:

$$ \nabla f = \lambda \nabla g \quad \text{ve} \quad g(x, y) = c $$

$$ \mathcal{L} = xy - \lambda(x^2 + y^2 - 1) $$ $$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = y - 2\lambda x = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 2\lambda x $$ $$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = x - 2\lambda y = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2\lambda y $$

Çözüm: Kritik noktalar $(\pm\frac{1}{\sqrt{2}}, \pm\frac{1}{\sqrt{2}})$

Maksimum: $f = \frac{1}{2}$, Minimum: $f = -\frac{1}{2}$

💡 Geometrik Yorum: Ekstremum noktalarında, $f$'nin seviye eğrisi ile kısıt eğrisi $g$ teğettir.

Parametrik Eğri:

$$ \mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t)\mathbf{i} + y(t)\mathbf{j} + z(t)\mathbf{k} $$

$t$: Parametre (genellikle zaman)

$$ \mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t)) $$

Eğriye teğet yönü gösterir, büyüklüğü hızı verir

$$ \mathbf{a}(t) = \mathbf{r}''(t) = (x''(t), y''(t), z''(t)) $$

$$ \mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{r}'(t)}{|\mathbf{r}'(t)|} = \frac{\mathbf{v}(t)}{|\mathbf{v}(t)|} $$

$\mathbf{r}(t) = (\cos t, \sin t, t)$ için hız ve ivme:

$$ \mathbf{v}(t) = (-\sin t, \cos t, 1) $$ $$ \mathbf{a}(t) = (-\cos t, -\sin t, 0) $$

Hız büyüklüğü: $|\mathbf{v}| = \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t + 1} = \sqrt{2}$

🎯 Fiziksel Anlam:
• $\mathbf{r}(t)$: Konum vektörü
• $\mathbf{v}(t)$: Hız (velocity)
• $\mathbf{a}(t)$: İvme (acceleration)
• $|\mathbf{v}(t)|$: Sürat (speed)

$$ \mathbf{F}(x, y, z) = P(x,y,z)\mathbf{i} + Q(x,y,z)\mathbf{j} + R(x,y,z)\mathbf{k} $$

Her noktada bir vektör tanımlar (örn: rüzgar, elektrik alan)

$$ \nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k} $$

Skaler alanı vektör alanına dönüştürür (en hızlı artış yönü)

$$ \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} $$

Vektör alanının "kaynağını" veya "yutağını" ölçer (skaler)

$$ \nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} $$

= $\left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}\right)\mathbf{i} + \left(\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}\right)\mathbf{j} + \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathbf{k}$

Vektör alanının "rotasyonunu" ölçer (vektör)

$$ \nabla \cdot \mathbf{F} = 0 + 0 + 0 = 0 \quad \text{(sıkıştırılamaz)} $$ $$ \nabla \times \mathbf{F} = (0, 0, -2) \quad \text{(z ekseninde dönüş)} $$

💡 Fiziksel Yorumlar:
• div $\mathbf{F} > 0$: Kaynak (source)
• div $\mathbf{F} < 0$: Yutak (sink)
• curl $\mathbf{F} \neq 0$: Rotasyonel alan
• curl $\mathbf{F} = 0$: İrrotasyonel (konservatif) alan

İç enerji $U(S, V)$ (entropi $S$, hacim $V$'nin fonksiyonu):

$$ \text{Sıcaklık: } T = \frac{\partial U}{\partial S}, \quad \text{Basınç: } P = -\frac{\partial U}{\partial V} $$

Elektrik alanı $\mathbf{E}$ ve potansiyel $\phi$:

$$ \mathbf{E} = -\nabla \phi = -\left( \frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z} \right) $$

Kayıp fonksiyonu $L(\mathbf{w})$ için gradient descent:

$$ \mathbf{w}_{k+1} = \mathbf{w}_k - \alpha \nabla L(\mathbf{w}_k) $$

$\alpha$: öğrenme oranı (learning rate)