İntegral 2: Çok Değişkenli İntegraller

📚 Konu Özeti

Çok Katlı İntegraller ve Vektör Kalkülüsü, iki veya daha fazla boyutlu bölgelerde integrasyon ve vektör alanlarının analizini konu alır. Fizik ve mühendislikte hacim, kütle, iş ve akış hesaplamalarında kritik öneme sahiptir.

🎯 Temel Kavramlar:
• Çift/Üçlü İntegral: Alan ve hacim hesaplama
• Çizgi İntegrali: Bir eğri boyunca integrasyon, iş hesabı
• Yüzey İntegrali: Flux (akış) hesaplama
• Vektör Teoremleri: Green, Stokes ve Divergence teoremleri

📜 Tarihsel Gelişim:
Çok katlı integraller Guido Fubini tarafından formalize edildi (Fubini Teoremi). Vektör kalkülüsünün temel teoremleri ise 19. yüzyılda George Green, George Stokes ve Carl Friedrich Gauss tarafından geliştirildi. Bu teoremler, elektromanyetizma ve akışkan dinamiği gibi alanlarda devrim yarattı.

1. Çift İntegral

Düzlemde bir bölge üzerinde tanımlı fonksiyonların integrali. Hacim, alan ve kütle hesaplamalarında kullanılır.

Tanım:

$$ \iint_R f(x,y) \, dA = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*, y_i^*) \Delta A_i $$

$R$: İntegrasyon bölgesi, $dA$: Alan elemanı ($dx \, dy$ veya $dy \, dx$)

Fubini Teoremi:

Dikdörtgensel bölge $R = [a,b] \times [c,d]$ için:

$$ \iint_R f(x,y) \, dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y) \, dy \, dx = \int_c^d \int_a^b f(x,y) \, dx \, dy $$

Örnek:

$\iint_R xy \, dA$ integralini hesaplayın, $R = [0,2] \times [0,3]$

$$ \int_0^2 \int_0^3 xy \, dy \, dx = \int_0^2 x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^3 dx = \int_0^2 \frac{9x}{2} \, dx = \frac{9}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = 9 $$

Çift İntegral Bölgesi (Fubini)

2. Kutupsal Koordinatlar

Dairesel veya merkezi simetriye sahip bölgelerde çift integralleri basitleştirir.

Dönüşüm:

$$ x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta $$ $$ dA = r \, dr \, d\theta \quad \text{(Jacobian: } |J| = r\text{)} $$

Genel Form:

$$ \iint_R f(x,y) \, dA = \int_{\alpha}^{\beta} \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \, r \, dr \, d\theta $$

Örnek: Çemberin Alanı

$x^2 + y^2 \leq a^2$ bölgesinin alanı:

$$ A = \int_0^{2\pi} \int_0^a r \, dr \, d\theta = \int_0^{2\pi} \left[ \frac{r^2}{2} \right]_0^a d\theta = \int_0^{2\pi} \frac{a^2}{2} \, d\theta = \pi a^2 $$

3. Üçlü İntegral

Üç boyutlu bölgelerde hacim, kütle ve yoğunluk hesaplamalarında kullanılır.

Kartezyen Koordinatlar:

$$ \iiint_V f(x,y,z) \, dV = \int_a^b \int_{c(x)}^{d(x)} \int_{e(x,y)}^{f(x,y)} f(x,y,z) \, dz \, dy \, dx $$

Silindirik Koordinatlar:

$$ x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad z = z $$ $$ dV = r \, dr \, d\theta \, dz $$

Küresel Koordinatlar:

$$ x = \rho\sin\phi\cos\theta, \quad y = \rho\sin\phi\sin\theta, \quad z = \rho\cos\phi $$ $$ dV = \rho^2 \sin\phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta $$

$\rho$: Orijine uzaklık, $\phi$: Polar açı (0 to π), $\theta$: Azimut açı (0 to 2π)

Örnek: Kürenin Hacmi

Yarıçapı $a$ olan küre:

$$ V = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^a \rho^2 \sin\phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta = \frac{4}{3}\pi a^3 $$

4. Çizgi İntegrali

Bir eğri boyunca skaler veya vektör fonksiyonların integrali. Fizikte iş hesabında kritik.

Tip 1: Skaler Fonksiyon

$$ \int_C f(x,y) \, ds = \int_a^b f(x(t), y(t)) \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt $$

$C$: Eğri, parametrik form $\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t))$

Tip 2: Vektör Alanı (İş İntegrali)

$$ \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) \, dt $$

$\mathbf{F} = (P, Q, R)$: Vektör alanı, $d\mathbf{r} = (dx, dy, dz)$

Konservatif Alanlar:

Eğer $\mathbf{F} = \nabla f$ (bir potansiyel fonksiyonun gradyenti) ise:

$$ \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = f(\mathbf{r}(b)) - f(\mathbf{r}(a)) $$

Çizgi integrali yoldan bağımsız, sadece başlangıç ve bitiş noktalarına bağlı.

Çizgi İntegrali - Vektör Alanı

5. Green Teoremi

Düzlemde kapalı bir eğri boyunca çizgi integralini, eğrinin çevrelediği bölge üzerinde çift integrale dönüştürür.

Teorem:

$$ \oint_C (L \, dx + M \, dy) = \iint_R \left( \frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y} \right) dA $$

$C$: Pozitif yönlü (saat yönü tersine) kapalı eğri, $R$: İç bölge

Özel Durum: Alan Formülü

$$ A = \frac{1}{2} \oint_C (x \, dy - y \, dx) $$

Örnek:

$\oint_C (x^2 + y) \, dx + (x + y^2) \, dy$ için $C$: $x^2 + y^2 = 1$ (birim çember)

$$ L = x^2 + y, \quad M = x + y^2 $$ $$ \frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y} = 1 - 1 = 0 $$

Sonuç: $\oint_C = 0$

💡 Fiziksel Anlam: Akışkan hareketinde rotasyon (curl) hesabı.

6. Yüzey İntegrali

Üç boyutlu bir yüzey üzerinde skaler veya vektör fonksiyonların integrali.

Tip 1: Skaler Fonksiyon (Yüzey Alanı)

$$ \iint_S f(x,y,z) \, dS $$

$z = g(x,y)$ yüzeyi için: $dS = \sqrt{1 + \left(\frac{\partial g}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial g}{\partial y}\right)^2} \, dA$

Tip 2: Flux (Akış) İntegrali

$$ \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iint_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS $$

$\mathbf{n}$: Yüzeye dik birim normal vektör, $d\mathbf{S} = \mathbf{n} \, dS$

Parametrik Yüzey:

$$ \mathbf{r}(u, v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) $$ $$ dS = \left| \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \right| du \, dv $$

Kapalı Yüzey İntegrali:

Kapalı bir yüzey $S$ için flux integrali (dışarı yönlü normal ile):

$$ \oint\!\!\!\oint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} $$

Örnek (Küre): $\mathbf{F} = (x, y, z)$ vektör alanının yarıçapı $a$ olan küre yüzeyinden dışarı akışı:

$$ \oint\!\!\!\oint_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \oint\!\!\!\oint_S (x, y, z) \cdot \frac{(x,y,z)}{a} \, dS $$ $$ = \oint\!\!\!\oint_S \frac{x^2+y^2+z^2}{a} \, dS = \oint\!\!\!\oint_S \frac{a^2}{a} \, dS = a \cdot 4\pi a^2 = 4\pi a^3 $$

⚡ Önemli Notlar:
• Kapalı yüzey: İçi dışı tam ayıran yüzey (küre, küp, vb.)
• Normal vektör: Genellikle dışarı yönlü alınır
• Divergence teoremi ile hacim integraline dönüştürülebilir

7. Stokes ve Divergence Teoremleri

⚡ Stokes Teoremi

Kapalı eğri boyunca çizgi integralini, eğrinin sınırladığı yüzey üzerinde yüzey integraline dönüştürür.

$$ \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} $$

$\nabla \times \mathbf{F}$: Curl (rotasyon) operatörü

$$ \nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} $$

🌊 Divergence Teoremi (Gauss)

Kapalı yüzey üzerinde flux integralini, yüzeyin içindeki hacim integrali ile ilişkilendirir.

$$ \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV $$

$\nabla \cdot \mathbf{F}$: Divergence (ıraksama) operatörü

$$ \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} $$

🔗 Birleşik Yapı:
Temel Kalkülüs Teoremi → Green → Stokes → Divergence
Hepsi aynı prensip: "İçerideki değişim = Sınırdaki toplam"

8. Fizik ve Mühendislik Uygulamaları

⚡ Elektromanyetizma

Gauss Kanunu (Elektrik):

$$ \iint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0} $$

Kapalı yüzeyden geçen elektrik akısı = İçteki yük / Dielektrik sabiti

Faraday Kanunu:

$$ \oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{r} = -\frac{d\Phi_B}{dt} $$

Çizgi integrali = Manyetik akı değişim hızı (Stokes Teoremi uygulaması)

🌀 Akışkan Dinamiği

Süreklilik Denklemi:

$$ \nabla \cdot \mathbf{v} = 0 \quad \text{(sıkıştırılamaz akış)} $$

$\mathbf{v}$: Hız alanı, Divergence sıfır → kütle korunumu

🔥 Isı Transferi

Isı Akışı:

$$ \iint_S \mathbf{q} \cdot d\mathbf{S} = -k \iint_S \nabla T \cdot d\mathbf{S} $$

$\mathbf{q}$: Isı akısı, $T$: Sıcaklık, $k$: Termal iletkenlik

📝 Alıştırma Soruları

Sorular yükleniyor...

🔙 Önceki Konu: Çok Değişkenli Türevler

Gradient, Jacobian ve Lagrange çarpanlarını öğrenmek için:

← Türev 2: İleri Kalkülüs