eiθ = cosθ + i sinθ
--.--.---- --:--:--
← Konulara Dön

Diziler

📚 Konu Özeti

Matematiksel Diziler, belirli bir kurala göre sıralanmış sayı dizileridir. Matematik, fizik ve mühendislikte yakınsaklık analizi, toplam hesaplama ve modelleme için temel araçlardır.

🎯 Temel Kavramlar:
• Aritmetik Dizi: Sabit fark ile artan diziler
• Geometrik Dizi: Sabit oran ile çarpılan diziler
• Yakınsaklık: Dizinin bir değere yaklaşması
• Rekürans: Önceki terimlerle tanımlanan diziler

📜 Tarihsel Not:
Diziler kavramı antik Yunanlılardan beri bilinir. Fibonacci dizisi, Cauchy ve Bolzano'nun yakınsaklık teoremleri modern analizin temelini oluşturur.

1. Dizi Tanımı ve Gösterim

Dizi, doğal sayılardan reel sayılara tanımlı bir fonksiyondur.

Tanım:

$$ (a_n)_{n=1}^{\infty} = a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots $$

$a_n$: Dizinin $n$. terimi, $n \in \mathbb{N}$ (doğal sayılar)

Örnekler:

  • $a_n = 2n$: $(2, 4, 6, 8, 10, \ldots)$ (Çift sayılar)
  • $a_n = \frac{1}{n}$: $(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots)$
  • $a_n = (-1)^n$: $(-1, 1, -1, 1, -1, \ldots)$
2. Aritmetik Dizi

Ardışık terimler arasındaki fark sabittir.

Genel Terim:

$$ a_n = a_1 + (n-1)d $$

$a_1$: İlk terim, $d$: Ortak fark ($d = a_{n+1} - a_n$)

Örnek:

$3, 7, 11, 15, 19, \ldots$ dizisinin 10. terimi?

$a_1 = 3$, $d = 4$

$$ a_{10} = 3 + (10-1) \cdot 4 = 3 + 36 = 39 $$

Toplam Formülü (İlk $n$ Terim):

$$ S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2} $$
3. Geometrik Dizi

Ardışık terimler arasındaki oran sabittir.

Genel Terim:

$$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $$

$a_1$: İlk terim, $r$: Ortak oran ($r = \frac{a_{n+1}}{a_n}$)

Örnek:

$2, 6, 18, 54, \ldots$ dizisinin 7. terimi?

$a_1 = 2$, $r = 3$

$$ a_7 = 2 \cdot 3^{7-1} = 2 \cdot 729 = 1458 $$

Toplam Formülü:

İlk $n$ terimin toplamı ($r \neq 1$):

$$ S_n = a_1 \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad \text{veya} \quad S_n = a_1 \frac{r^n - 1}{r - 1} $$

💡 Sonsuz Toplam: $|r| < 1$ ise dizi yakınsar:
$S_\infty = \frac{a_1}{1-r}$

4. Rekürans İlişkileri

Dizinin her terimi, önceki terimlerle tanımlanır.

Genel Form:

$$ a_n = f(a_{n-1}, a_{n-2}, \ldots, a_{n-k}) $$

Fibonacci Dizisi:

$$ F_n = F_{n-1} + F_{n-2}, \quad F_1 = F_2 = 1 $$

Dizi: $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \ldots$

Binet Formülü (Fibonacci için):

$$ F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right] $$

$\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618$ (Altın oran)

5. Yakınsaklık ve Limit

Bir dizi, $n \to \infty$ iken belirli bir değere yaklaşıyorsa yakınsaktır.

Tanım:

$$ \lim_{n \to \infty} a_n = L $$

Her $\epsilon > 0$ için, $N$ sayısı vardır öyle ki $n > N$ ise $|a_n - L| < \epsilon$

Örnekler:

  • $a_n = \frac{1}{n} \to 0$ (Yakınsak)
  • $a_n = \frac{2n+1}{n+3} = \frac{2 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{3}{n}} \to 2$ (Yakınsak)
  • $a_n = (-1)^n$ → Yakınsak değil (Salınımlı)
  • $a_n = n^2$ → Yakınsak değil (Irkasak, $+\infty$'a gider)

🔍 Sandviç (Sıkıştırma) Teoremi:
Eğer $a_n \leq b_n \leq c_n$ ve $\lim a_n = \lim c_n = L$ ise, $\lim b_n = L$

6. Monoton Diziler

Sürekli artan veya azalan dizilerdir.

Tanımlar:

  • Artan: $a_{n+1} \geq a_n$
  • Azalan: $a_{n+1} \leq a_n$
  • Kesinlikle Artan: $a_{n+1} > a_n$
  • Kesinlikle Azalan: $a_{n+1} < a_n$

Monoton Yakınsaklık Teoremi:

Eğer bir dizi monoton ve sınırlı ise yakınsaktır.

Örnek: $a_n = 1 - \frac{1}{n}$ artan ve 1 ile sınırlı → Yakınsak (limit = 1)

📝 Alıştırma Soruları

Sorular yükleniyor...

×

Çözüm Tahtası